Este es uno de los ejercicios propuestos en una tarea de clase a los estudiantes de Cálculo. EJERCICIO: Encuentre todos los puntos de la superficie \(z=x^2y\) en donde el plano tangente es ortogonal a la recta \(x=2-6t\), \(y=3-12t\), \(z=2+3t\).

La derivada direccional en campos escalares o funciones de varias variables es el equivalente a la derivada de funciones de una variable. A partir de un punto de la recta real, solo nos podemos mover hacía la izquierda o la derecha y si la función es derivable las “derivadas” en ambas direcciones son iguales. Sin embargo, si estamos en el plano \(^2\), por ejemplo, desde un punto nos podemos mover en múltiples direcciones, las correspondientes “derivadas’ se denominan _derivadas direccionales_. EJERCICIO: Halle la derivada direccional de \(f(x,y)=x^2e^{xy}\) en \((3,0)\) en la dirección normal a la recta \(3x-2y=9\) y en el sentido de crecimiento de \(y\).

Vamos a determinar la ecuación de la elipse de la imagen, de la cual conocemos que sus cuatro vértices son \((8,6)\), \((3,6)\), \((0,2)\) y \((5,2)\).

La curva polar \(r=^2(\theta)}{\cos(\theta)}\) es la Cisoide de Diocles. Empezamos viendo la gráfica en coordenadas cartesianas.

Hace unos días un estudiante me hizo llegar esta entrada en el blog de Gausssianos en la que se mostraba una de esas demostraciones matemáticas, aparentementen correctas, pero que ocultan alguna falacía más o menos difícil de encontrar. La mayoría de las veces son bastante simples y solo despistan a los estudiantes de matemáticas más jóvenes. Sin embargo, he podido comprobar que esta, a la que nos referimos en este documento, presenta algunas cuestiones interesantes que merece la pena analizar con cuidado. En parte, esta impresión viene del análisis que se hace en la respuesta que se da en la entrada de Gaussianos, con el que no estoy completamente de acuerdo.

En los ejercicios típicos de aplicación de las congruencias, se busca calcular el tamaño de un conjunto inicial cuando distintos repartos proporcionales nos dejan elementos de más o elementos de menos. Ahí va uno de esos ejemplos. En una asignatura hay 240 estudiantes matriculados. Para realizar el examen se intenta colocarlos en el aula A, en donde se pueden completar 6 filas iguales, pero 19 se quedan sin asiento. Se trasladan todos al aula B, en la que se pueden ocupar 9 filas iguales, pero dejando 5 asientos libres. Determina el número mínimo y el número máximo de alumnos que se han presentado.

La forma más sencilla de determinar la primitiva de cualquier potencia del seno o del coseno, es utilizar la forma compleja de estas funciones para obtener una expresión alternativa sin potencias. Las iguadades fundamentales son: x &=^{x}-^{-x}}{2}\\ \cos x &=^{x}+^{-x}}{2}\\ Y en el otro sentido: ^{x}-^{-x}&=2x\\ ^{x}+^{-x}&=2\cos x A modo de ejemplo, vamos a determinar ∫sen⁵x dx.

Completar cuadrados es una simple técnica de manipulación de polinomios de segundo grado que nos ayuda a resolver algunos problemas, desde la resolución de ecuaciones de segundo grado, hasta el cálculo de primitivas. Como es una técnica básica, debemos usarla con soltura, sin recurrir a sistemas de ecuaciones. Como ejemplo, vamos a aplicarla sobre 2x² − 6x + 5 de distintas formas.

EJERCICIO DE CLASE (11-10-2017) 1. Halla el máximo común divisor de 155 y 45. 2. ¿La ecuación diofántica \(155x+45y=1\), tiene solución? ¿La ecuación diofántica \(155x+45y=2560\), tiene solución? 3. Resuelve las ecuaciones del apartado anterior que tengan solución. 4. Halla las soluciones positivas, si existen, de la ecuación o ecuaciones resueltas en el apartado anterior.

¿De cuántas formas se puede formar una caravana con seis coches y tres furgonetas, todos ellos con distintos colores, de forma que no haya dos furgonetas juntas?

EJEMPLO DE ECUACIÓN REDUCIDA Una vez que hemos encontrado la expresión normalizada de una cónica, es fácil obtener lo que se llama su forma reducida. Es decir, la ecuación de la cónica que resulta de trasladar y girar la cónica para que su centro sea el origen de coordenadas y el sus ejes sean paralalelos a los ejes de coordenadas. \[ (x-2y-3)^2+2(-2x-y+1)^2 - 1 = 0 \] Por ejemplo, tomemos la siguiente elipse escrita en forma normalizada. Las expresiones que hay dentro de los paréntesis se corresponden con los ejes, pero sus vectores normales, (1, −2) y ( − 2, −1) no son unitarios, por lo que los coeficientes no se corresponden con los semiejes de la elipse. Multiplicando y dividiendo por la norma de estos vectores obtenemos fácilmente la forma reducida (x-2y-3)^2+2(-2x-y+1)^2 - 1 &= 0 \\ \left(\sqrt5{\sqrt5}\right)^2+2\left(\sqrt5{\sqrt5}\right)^2 - 1 &= 0\\ 5\left({\sqrt5}\right)^2+10\left({\sqrt5}\right)^2 - 1 &= 0 \\ 5X^2+10Y^2-1 &=0 En particular, sabemos que los semiejes son $1/\sqrt5$ y $1/$.

Ejercicio 8 de la relación 1.2 En este ejercicio utilizamos la relación entre factorización de polinomios y soluciones de ecuaciones polinómicas para hallar el coseno de \(\pi/5\). Empezamos utilizando la fórmula de Moivre para encontrar el polinomio sobre el que vamos a trabajar.